三角形ABCにおいて$\angle \text{A}=\theta,\ \angle \text{B}=2\theta$であるとする．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，$\lceil \ \cdot \ \rfloor$はベクトルの内積を表す．
(1) $\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|}$を，$\cos \theta$を用いて表せ．
(2) 次式が最大となるときの$\cos \theta$を求めよ． \[ \frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}}{|\overrightarrow{\mathrm{AB}}||\overrightarrow{\mathrm{AC}}|}+\frac{\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}}{|\overrightarrow{\mathrm{BA}}||\overrightarrow{\mathrm{BC}}|}+\frac{\overrightarrow{\mathrm{CB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}}}{|\overrightarrow{\mathrm{CB}}||\overrightarrow{\mathrm{CA}}|} \]
(3) $\angle \text{B}$の二等分線と辺ACとの交点をDとしたとき，次式を満たす$\theta$を求めよ． \[ \frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}}{|\overrightarrow{\mathrm{AB}}||\overrightarrow{\mathrm{AC}}|}+\frac{\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}}{|\overrightarrow{\mathrm{BA}}||\overrightarrow{\mathrm{BC}}|}+\frac{\overrightarrow{\mathrm{CB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}}}{|\overrightarrow{\mathrm{CB}}||\overrightarrow{\mathrm{CA}}|} = \frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}}{|\overrightarrow{\mathrm{AB}}||\overrightarrow{\mathrm{AD}}|}+\frac{\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BD}}}{|\overrightarrow{\mathrm{BA}}||\overrightarrow{\mathrm{BD}}|}+\frac{\overrightarrow{\mathrm{DB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DA}}}{|\overrightarrow{\mathrm{DB}}||\overrightarrow{\mathrm{DA}}|} \]