福島大学
2014年 人文A 第5問
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![正の整数nをn=a_1+a_2+・・・+a_kのようにいくつかの正の整数の和として表す.このとき,正の整数の組(a_1,a_2,・・・,a_k)をnの分割とよぶ.ここで,k=1の場合,すなわちn=a_1として(a_1)もnの分割とみなす.いま,nの分割(a_1,a_2,・・・,a_k)であって,積a_1a_2・・・a_kが最大となるものをnの最大分割と呼ぶことにし,その積の値をP(n)と書くことにする.(1)P(4)を求めなさい.(2)n>1とする.nの分割(a_1,a_2,・・・,a_k)でa_1=1のものは最大分割でないことを示しなさい.(3)最大分割に2が3回現れることはないことを示しなさい.(4)最大分割に5以上の正の整数は現れないことを示しなさい.(5)P(20)を求めなさい.](./thumb/77/3200/2014_5.png)
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正の整数$n$を
\[ n=a_1+a_2+\cdots +a_k \]
のようにいくつかの正の整数の和として表す.このとき,正の整数の組$(a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_k)$を$n$の分割とよぶ.ここで,$k=1$の場合,すなわち$n=a_1$として$(a_1)$も$n$の分割とみなす.
いま,$n$の分割$(a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_k)$であって,積$a_1a_2 \cdots a_k$が最大となるものを$n$の最大分割と呼ぶことにし,その積の値を$P(n)$と書くことにする.
(1) $P(4)$を求めなさい.
(2) $n>1$とする.$n$の分割$(a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_k)$で$a_1=1$のものは最大分割でないことを示しなさい.
(3) 最大分割に$2$が$3$回現れることはないことを示しなさい.
(4) 最大分割に$5$以上の正の整数は現れないことを示しなさい.
(5) $P(20)$を求めなさい.
いま,$n$の分割$(a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_k)$であって,積$a_1a_2 \cdots a_k$が最大となるものを$n$の最大分割と呼ぶことにし,その積の値を$P(n)$と書くことにする.
(1) $P(4)$を求めなさい.
(2) $n>1$とする.$n$の分割$(a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_k)$で$a_1=1$のものは最大分割でないことを示しなさい.
(3) 最大分割に$2$が$3$回現れることはないことを示しなさい.
(4) 最大分割に$5$以上の正の整数は現れないことを示しなさい.
(5) $P(20)$を求めなさい.
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