東京大学
2011年 理系 第5問
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![p,qを2つの正の整数とする．整数a,b,cで条件-q≦b≦0≦a≦p,b≦c≦aを満たすものを考え，このようなa,b,cを[a,b;c]の形に並べたものを(p,q)パターンと呼ぶ．各(p,q)パターン[a,b;c]に対してw([a,b;c])=p-q-(a+b)とおく．(1)(p,q)パターンのうち，w([a,b;c])=-qとなるものの個数を求めよ．また，w([a,b;c])=pとなる(p,q)パターンの個数を求めよ．\\以下p=qの場合を考える．(2)sを整数とする．(p,p)パターンでw([a,b;c])=-p+sとなるものの個数を求めよ．(3)(p,p)パターンの総数を求めよ．](./thumb/179/910/2011_5.png)
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$p,\ q$を2つの正の整数とする．整数$a,\ b,\ c$で条件
\[ -q \leqq b \leqq 0 \leqq a \leqq p,\quad b \leqq c \leqq a \]
を満たすものを考え，このような$a,\ b,\ c$を$[a,\ b\ ;\ c]$の形に並べたものを$(p,\ q)$パターンと呼ぶ．各$(p,\ q)$パターン$[a,\ b\ ;\ c]$に対して
\[ w([a,\ b\ ;\ c]) = p-q-(a+b) \]
とおく．
(1) $(p,\ q)$パターンのうち，$w([a,\ b\ ;\ c])=-q$となるものの個数を求めよ．また，$w([a,\ b\ ;\ c])=p$となる$(p,\ q)$パターンの個数を求めよ．\\ 以下$p=q$の場合を考える．
(2) $s$を整数とする．$(p,\ p)$パターンで$w([a,\ b\ ;\ c])=-p+s$となるものの個数を求めよ．
(3) $(p,\ p)$パターンの総数を求めよ．
(1) $(p,\ q)$パターンのうち，$w([a,\ b\ ;\ c])=-q$となるものの個数を求めよ．また，$w([a,\ b\ ;\ c])=p$となる$(p,\ q)$パターンの個数を求めよ．\\ 以下$p=q$の場合を考える．
(2) $s$を整数とする．$(p,\ p)$パターンで$w([a,\ b\ ;\ c])=-p+s$となるものの個数を求めよ．
(3) $(p,\ p)$パターンの総数を求めよ．
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