東京大学
2011年 理系 第3問
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$L$を正定数とする．座標平面の$x$軸上の正の部分にある点P$(t,\ 0)$に対し，原点Oを中心とし点Pを通る円周上を，Pから出発して反時計回りに道のり$L$だけ進んだ点をQ$(u(t),\ v(t))$と表す．
(1) $u(t),\ v(t)$を求めよ．
(2) $0<a<1$の範囲の実数$a$に対し，積分 \[ f(a) = \int_a^1 \sqrt{\{u^{\, \prime}(t)\}^2 + \{v^{\, \prime}(t)\}^2 } \, dt \] を求めよ．
(3) 極限$\displaystyle \lim_{a \to +0}\frac{f(a)}{\log a}$を求めよ．
(1) $u(t),\ v(t)$を求めよ．
(2) $0<a<1$の範囲の実数$a$に対し，積分 \[ f(a) = \int_a^1 \sqrt{\{u^{\, \prime}(t)\}^2 + \{v^{\, \prime}(t)\}^2 } \, dt \] を求めよ．
(3) 極限$\displaystyle \lim_{a \to +0}\frac{f(a)}{\log a}$を求めよ．
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