東京大学
2010年 理系 第3問
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![2つの箱LとR，ボール30個，コイン投げで表と裏が等確率1/2で出るコイン1枚を用意する．xを0以上30以下の整数とする．Lにx個，Rに30-x個のボールを入れ，次の操作(\sharp)を繰り返す．\mon[(\sharp)]箱Lに入っているボールの個数をzとする．コインを投げ，表が出れば箱Rから箱Lに，裏が出れば箱Lから箱Rに，K(z)個のボールを移す．ただし，0≦z≦15のときK(z)=z，16≦z≦30のときK(z)=30-zとする．m回の操作の後，箱Lのボールの個数が30である確率をP_m(x)とする．たとえばP_1(15)=P_2(15)=1/2となる．以下の問(1)，(2)，(3)に答えよ．(1)m≧2のとき，xに対してうまくyを選び，P_m(x)をP_{m-1}(y)で表せ．(2)nを自然数とするとき，P_{2n}(10)を求めよ．(3)nを自然数とするとき，P_{4n}(6)を求めよ．](./thumb/179/910/2010_3.png)
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$2$つの箱LとR，ボール$30$個，コイン投げで表と裏が等確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で出るコイン1枚を用意する．$x$を$0$以上$30$以下の整数とする．Lに$x$個，Rに$30-x$個のボールを入れ，次の操作$(\sharp)$を繰り返す．
[$(\sharp)$] 箱Lに入っているボールの個数を$z$とする．コインを投げ，表が出れば箱Rから箱Lに，裏が出れば箱Lから箱Rに，$K(z)$個のボールを移す．ただし，$0 \leqq z \leqq 15$のとき$K(z)=z$，$16 \leqq z \leqq 30$のとき$K(z)=30-z$とする．
$m$回の操作の後，箱Lのボールの個数が$30$である確率を$P_m(x)$とする．たとえば$\displaystyle P_1(15)=P_2(15)=\frac{1}{2}$となる．以下の問(1)，(2)，(3)に答えよ．
(1) $m \geqq 2$のとき，$x$に対してうまく$y$を選び，$P_m(x)$を$P_{m-1}(y)$で表せ．
(2) $n$を自然数とするとき，$P_{2n}(10)$を求めよ．
(3) $n$を自然数とするとき，$P_{4n}(6)$を求めよ．
[$(\sharp)$] 箱Lに入っているボールの個数を$z$とする．コインを投げ，表が出れば箱Rから箱Lに，裏が出れば箱Lから箱Rに，$K(z)$個のボールを移す．ただし，$0 \leqq z \leqq 15$のとき$K(z)=z$，$16 \leqq z \leqq 30$のとき$K(z)=30-z$とする．
$m$回の操作の後，箱Lのボールの個数が$30$である確率を$P_m(x)$とする．たとえば$\displaystyle P_1(15)=P_2(15)=\frac{1}{2}$となる．以下の問(1)，(2)，(3)に答えよ．
(1) $m \geqq 2$のとき，$x$に対してうまく$y$を選び，$P_m(x)$を$P_{m-1}(y)$で表せ．
(2) $n$を自然数とするとき，$P_{2n}(10)$を求めよ．
(3) $n$を自然数とするとき，$P_{4n}(6)$を求めよ．
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