東京大学
2010年 理系 第2問
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次の問いに答えよ．
(1) すべての自然数$k$に対して，次の不等式を示せ． \[ \frac{1}{2(k+1)}< \int_0^1 \frac{1-x}{k+x}\, dx < \frac{1}{2k} \]
(2) $m>n$であるようなすべての自然数$m$と$n$に対して，次の不等式を示せ． \[ \frac{m-n}{2(m+1)(n+1)} < \log \frac{m}{n} -\sum_{k=n+1}^m \frac{1}{k} < \frac{m-n}{2mn} \]
(1) すべての自然数$k$に対して，次の不等式を示せ． \[ \frac{1}{2(k+1)}< \int_0^1 \frac{1-x}{k+x}\, dx < \frac{1}{2k} \]
(2) $m>n$であるようなすべての自然数$m$と$n$に対して，次の不等式を示せ． \[ \frac{m-n}{2(m+1)(n+1)} < \log \frac{m}{n} -\sum_{k=n+1}^m \frac{1}{k} < \frac{m-n}{2mn} \]
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