$2\times2$行列$P=\biggl( \begin{array}{cc} p & q \\ r & s \end{array} \biggr)$に対して \[ \mathrm{Tr}(P)=p+s \] と定める．\\ \quad $a$，$b$，$c$は$a\geqq b>0$，$0\leqq c\leqq1$を満たす実数とする．行列$A$，$B$，$C$，$D$を次で定める． \[ A=\biggl( \begin{array}{cc} a & 0 \\ 0 & b \end{array} \biggr),\ B= \biggl( \begin{array}{cc} b & 0 \\ 0 & a \end{array} \biggr),\ C= \biggl( \begin{array}{cc} a^c & 0 \\ 0 & b^c \end{array} \biggr),\ D= \biggl( \begin{array}{cc} b^{1-c} & 0 \\ 0 & a^{1-c} \end{array} \biggr) \] また実数$x$に対し$U(x)= \biggl( \begin{array}{cc} \cos x & -\sin x \\ \sin x & \cos x \end{array} \biggr)$とする．このとき以下の問いに答えよ．
(1) 各実数$t$に対して，$x$の関数 \[ f(x)=\mathrm{Tr}\Biggl(\Bigl(U(t)AU(-t)-B \Bigr)U(x) \biggl( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \biggr)U(-x)\Biggr) \] の最大値$m(t)$を求めよ．(ただし，最大値をとる$x$を求める必要はない．)
(2) すべての実数$t$に対し \[ 2\mathrm{Tr}(U(t)CU(-t)D)\geqq \mathrm{Tr}(U(t)AU(-t)+B)-m(t) \] が成り立つことを示せ．