東京大学
2016年 理系 第5問
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![kを正の整数とし，10進法で表された小数点以下k桁の実数0.a_1a_2・・・a_k=\frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{{10}^2}+・・・+\frac{a_k}{{10}^k}を1つとる．ここで，a_1,a_2,・・・,a_kは0から9までの整数で，a_k≠0とする．(1)次の不等式をみたす正の整数nをすべて求めよ．0.a_1a_2・・・a_k≦√n-{10}^k＜0.a_1a_2・・・a_k+{10}^{-k}(2)pが5・{10}^{k-1}以上の整数ならば，次の不等式をみたす正の整数mが存在することを示せ．0.a_1a_2・・・a_k≦√m-p＜0.a_1a_2・・・a_k+{10}^{-k}(3)実数xに対し，r≦x＜r+1をみたす整数rを[x]で表す．√s-[√s]=0.a_1a_2・・・a_kをみたす正の整数sは存在しないことを示せ．](./thumb/179/910/2016_5.png)
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$k$を正の整数とし，$10$進法で表された小数点以下$k$桁の実数
\[ 0.a_1a_2 \cdots a_k=\frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{{10}^2}+\cdots +\frac{a_k}{{10}^k} \]
を$1$つとる．ここで，$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_k$は$0$から$9$までの整数で，$a_k \neq 0$とする．
(1) 次の不等式をみたす正の整数$n$をすべて求めよ． \[ 0.a_1a_2 \cdots a_k \leqq \sqrt{n}-{10}^k<0.a_1a_2 \cdots a_k+{10}^{-k} \]
(2) $p$が$5 \cdot {10}^{k-1}$以上の整数ならば，次の不等式をみたす正の整数$m$が存在することを示せ． \[ 0.a_1a_2 \cdots a_k \leqq \sqrt{m}-p<0.a_1a_2 \cdots a_k+{10}^{-k} \]
(3) 実数$x$に対し，$r \leqq x<r+1$をみたす整数$r$を$[x]$で表す．$\sqrt{s}-[\sqrt{s}]=0.a_1 a_2 \cdots a_k$をみたす正の整数$s$は存在しないことを示せ．
(1) 次の不等式をみたす正の整数$n$をすべて求めよ． \[ 0.a_1a_2 \cdots a_k \leqq \sqrt{n}-{10}^k<0.a_1a_2 \cdots a_k+{10}^{-k} \]
(2) $p$が$5 \cdot {10}^{k-1}$以上の整数ならば，次の不等式をみたす正の整数$m$が存在することを示せ． \[ 0.a_1a_2 \cdots a_k \leqq \sqrt{m}-p<0.a_1a_2 \cdots a_k+{10}^{-k} \]
(3) 実数$x$に対し，$r \leqq x<r+1$をみたす整数$r$を$[x]$で表す．$\sqrt{s}-[\sqrt{s}]=0.a_1 a_2 \cdots a_k$をみたす正の整数$s$は存在しないことを示せ．
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