行列$A=\biggl( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \biggr)$が次の条件(D)を満たすとする．
[(D)] $A$の成分$a$，$b$，$c$，$d$は整数である．また，平面上の4点$(0,\ 0)$，$(a,\ b)$，$(a+c,\ b+d)$，$(c,\ d)$は，面積1の平行四辺形の4つの頂点をなす．
$B=\biggl( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \biggr)$とおく．次の問いに答えよ．
(1) 行列$BA$と$B^{-1}A$も条件(D)を満たすことを示せ．
(2) $c=0$ならば，$A$に$B$，$B^{-1}$のどちらかを左から次々にかけることにより，4個の行列$\biggl( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{rr} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{rr} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \biggr)$のどれかにできることを示せ．
(3) $|\,a\,| \geqq |\,c\,| >0$とする．$BA$，$B^{-1}A$に少なくともどちらか一方は，それを$\biggl( \begin{array}{cc} x & y \\ z & w \end{array} \biggr)$とすると \[ |\,x\,|+|\,z\,| < |\,a\,|+|\,c\,| \] を満たすことを示せ．