次の連立不等式で定まる座標平面上の領域$D$を考える． \[ x^2+ (y-1)^2 \leqq 1, \quad x \geqq \frac{\sqrt{2}}{3} \] 直線$\ell$は原点を通り，$D$との共通部分が線分となるものとする．その線分の長さ$L$の最大値を求めよ．また，$L$が最大値をとるとき，$x$軸と$\ell$のなす角$\theta\ (0<\theta<\displaystyle\frac{\pi}{2})$の余弦$\cos \theta$を求めよ．