$r$を$0$以上の整数とし，数列$\{a_n\}$を次のように定める． \[ a_1=r,\quad a_2=r+1,\quad a_{n+2}=a_{n+1}(a_n+1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] また，素数$p$を$1$つとり，$a_n$を$p$で割った余りを$b_n$とする．ただし，$0$を$p$で割った余りは$0$とする．
(1) 自然数$n$に対し，$b_{n+2}$は$b_{n+1}(b_n+1)$を$p$で割った余りと一致することを示せ．
(2) $r=2,\ p=17$の場合に，$10$以下のすべての自然数$n$に対して，$b_n$を求めよ．
(3) ある$2$つの相異なる自然数$n,\ m$に対して， \[ b_{n+1}=b_{m+1}>0,\quad b_{n+2}=b_{m+2} \] が成り立ったとする．このとき，$b_n=b_m$が成り立つことを示せ．
(4) $a_2,\ a_3,\ a_4,\ \cdots$に$p$で割り切れる数が現れないとする．このとき，$a_1$も$p$で割り切れないことを示せ．