東京大学
2014年 理系 第4問
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$p,\ q$は実数の定数で，$0<p<1$，$q>0$をみたすとする．関数
\[ f(x)=(1-p)x+(1-x)(1-e^{-qx}) \]
を考える．
以下の問いに答えよ．必要であれば，不等式$1+x \leqq e^x$がすべての実数$x$に対して成り立つことを証明なしに用いてよい．
(1) $0<x<1$のとき，$0<f(x)<1$であることを示せ．
(2) $x_0$は$0<x_0<1$をみたす実数とする．数列$\{x_n\}$の各項$x_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を， \[ x_n=f(x_{n-1}) \] によって順次定める．$p>q$であるとき， \[ \lim_{n \to \infty}x_n=0 \] となることを示せ．
(3) $p<q$であるとき， \[ c=f(c),\quad 0<c<1 \] をみたす実数$c$が存在することを示せ．
以下の問いに答えよ．必要であれば，不等式$1+x \leqq e^x$がすべての実数$x$に対して成り立つことを証明なしに用いてよい．
(1) $0<x<1$のとき，$0<f(x)<1$であることを示せ．
(2) $x_0$は$0<x_0<1$をみたす実数とする．数列$\{x_n\}$の各項$x_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を， \[ x_n=f(x_{n-1}) \] によって順次定める．$p>q$であるとき， \[ \lim_{n \to \infty}x_n=0 \] となることを示せ．
(3) $p<q$であるとき， \[ c=f(c),\quad 0<c<1 \] をみたす実数$c$が存在することを示せ．
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