東京大学
2014年 理系 第3問
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$u$を実数とする．座標平面上の$2$つの放物線
\[ \begin{array}{ll}
C_1: & y=-x^2+1 \\
C_2: & y=(x-u)^2+u
\end{array} \]
を考える．$C_1$と$C_2$が共有点をもつような$u$の値の範囲は，ある実数$a,\ b$により，$a \leqq u \leqq b$と表される．
(1) $a,\ b$の値を求めよ．
(2) $u$が$a \leqq u \leqq b$をみたすとき，$C_1$と$C_2$の共有点を$\mathrm{P}_1(x_1,\ y_1)$，$\mathrm{P}_2(x_2,\ y_2)$とする．ただし，共有点が$1$点のみのときは，$\mathrm{P}_1$と$\mathrm{P}_2$は一致し，ともにその共有点を表すとする． \[ 2 |x_1y_2-x_2y_1| \] を$u$の式で表せ．
(3) $(2)$で得られる$u$の式を$f(u)$とする．定積分 \[ I=\int_a^b f(u) \, du \] を求めよ．
(1) $a,\ b$の値を求めよ．
(2) $u$が$a \leqq u \leqq b$をみたすとき，$C_1$と$C_2$の共有点を$\mathrm{P}_1(x_1,\ y_1)$，$\mathrm{P}_2(x_2,\ y_2)$とする．ただし，共有点が$1$点のみのときは，$\mathrm{P}_1$と$\mathrm{P}_2$は一致し，ともにその共有点を表すとする． \[ 2 |x_1y_2-x_2y_1| \] を$u$の式で表せ．
(3) $(2)$で得られる$u$の式を$f(u)$とする．定積分 \[ I=\int_a^b f(u) \, du \] を求めよ．
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