四面体$\mathrm{OABC}$において，$4$つの面はすべて合同であり，$\mathrm{OA}=3$，$\mathrm{OB}=\sqrt{7}$，$\mathrm{AB}=2$であるとする．また，$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を含む平面を$L$とする．
(1) 点$\mathrm{C}$から平面$L$におろした垂線の足を$\mathrm{H}$とおく．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(2) $0<t<1$をみたす実数$t$に対して，線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$各々を$t:1-t$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}_t$，$\mathrm{Q}_t$とおく．$2$点$\mathrm{P}_t$，$\mathrm{Q}_t$を通り，平面$L$に垂直な平面を$M$とするとき，平面$M$による四面体$\mathrm{OABC}$の切り口の面積$S(t)$を求めよ．
(3) $t$が$0<t<1$の範囲を動くとき，$S(t)$の最大値を求めよ．