$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$人がいる．投げたときに表裏の出る確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$のコインが$1$枚あり，最初は$\mathrm{A}$がそのコインを持っている．次の操作を繰り返す．
(ⅰ) $\mathrm{A}$がコインを持っているときは，コインを投げ，表が出れば$\mathrm{A}$に$1$点を与え，コインは$\mathrm{A}$がそのまま 持つ．裏が出れば，両者に点を与えず，$\mathrm{A}$はコインを$\mathrm{B}$に渡す．
(ⅱ) $\mathrm{B}$がコインを持っているときは，コインを投げ，表が出れば$\mathrm{B}$に$1$点を与え，コインは$\mathrm{B}$がそのまま 持つ．裏が出れば，両者に点を与えず，$\mathrm{B}$はコインを$\mathrm{A}$に渡す．
そして$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$のいずれかが$2$点を獲得した時点で，$2$点を獲得した方の勝利とする．たとえば，コインが表，裏，表，表と出た場合，この時点では$\mathrm{A}$は$1$点，$\mathrm{B}$は$2$点を獲得しているので$\mathrm{B}$の勝利となる． \\ $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$あわせてちょうど$n$回コインを投げ終えたときに$\mathrm{A}$の勝利となる確率$p(n)$を求めよ．