関数$y=x(x-1)(x-3)$のグラフを$C$，原点$\mathrm{O}$を通る傾き$t$の直線を$\ell$とし，$C$と$\ell$が$\mathrm{O}$以外に共有点をもつとする．$C$と$\ell$の共有点を$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とし，$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$と$|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|$の積を$g(t)$とおく．ただし，それらの共有点の$1$つが接点である場合は，$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$のうちの$2$つが一致して，その接点であるとする．関数$g(t)$の増減を調べ，その極値を求めよ．