徳島大学
2010年 医（医）・歯・薬 第2問
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数列$\{a_n\}$が$\displaystyle a_1=1,\ a_{n+1}=\frac{1}{2}\left( a_n+\frac{3}{a_n} \right) \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められるとき，次の問いに答えよ．
(1) $\displaystyle 0<a_2-\sqrt{3}<\frac{1}{2}$を示せ．
(2) $n$が2以上の自然数であるとき，不等式$\displaystyle 0<a_n-\sqrt{3}< \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}$を数学的帰納法によって証明せよ．
(3) 数列$\{a_n\}$の極限値を求めよ．
(1) $\displaystyle 0<a_2-\sqrt{3}<\frac{1}{2}$を示せ．
(2) $n$が2以上の自然数であるとき，不等式$\displaystyle 0<a_n-\sqrt{3}< \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}$を数学的帰納法によって証明せよ．
(3) 数列$\{a_n\}$の極限値を求めよ．
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