$n$枚のカードに$1$から$n$までの自然数がひとつずつ書かれている．異なるカードには異なる数が書かれている．これら$n$枚のカードを横一列に並べて，左端から$i$番目（$1 \leqq i \leqq n$）のカードに書かれた数を$a_i$とする．
(1) $n=5$のとき，$a_1<a_2<a_3$かつ$a_3>a_4>a_5$を満たすカードの並べ方の総数を求めよ．
(2) $n \geqq 3$とする．次の条件$\tokeiichi$，$\tokeini$を満たすカードの並べ方の総数を$n$の式で表せ．ただし，$\tokeini$では，$k=2$のとき$a_1<a_2<\cdots<a_k$は$a_1<a_2$を表し，$k=n-1$のとき$a_k>a_{k+1}>\cdots>a_n$は$a_{n-1}>a_n$を表す．
(ⅰ) $1<k<n$
(ⅱ) $a_1<a_2<\cdots<a_k$かつ$a_k>a_{k+1}>\cdots>a_n$
(3) $n \geqq 4$とする．次の条件$\tokeiichi$，$\tokeini$，$\tokeisan$を満たすカードの並べ方の総数を$n$の式で表せ．ただし，$\tokeisan$のそれぞれの不等式は$(2)$と同様に，$p=2$のとき$a_1>a_2$を表し，$q=p+1$のとき$a_p<a_{p+1}$を表し，$q=n-1$のとき$a_{n-1}>a_n$を表す．
(ⅰ) $1<p<q<n$
(ⅱ) $a_1=n$かつ$a_p=1$
(ⅲ) $a_1>a_2>\cdots>a_p$かつ$a_p<a_{p+1}<\cdots<a_q$かつ$a_q>a_{q+1}>\cdots>a_n$