四面体$\mathrm{OABC}$において$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=1$，$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\frac{2}{3}$が成り立つとき，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=\alpha$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=\beta$として次の問いに答えよ．
(1) $s,\ t$を実数として$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$と表される点$\mathrm{H}$を，$\overrightarrow{\mathrm{CH}}$が$\overrightarrow{a}$および$\overrightarrow{b}$と垂直となるようにとる．このとき，$\alpha$，$\beta$を$s,\ t$の式で表せ．
(2) 三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$(1)$の点$\mathrm{H}$に対して，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{HG}}=\frac{1}{3} \overrightarrow{c}$となるとき，$\alpha$，$\beta$の値を求めよ．
(3) $\alpha$，$\beta$が$(2)$で求めた値をとるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{CH}}|$の値を求めよ．