徳島大学
2013年 医（保健）・工学部 第1問
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$A=\left( \begin{array}{cc}
a & -a \\
-b & b
\end{array} \right),\ E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とし，$n$を自然数とする．また，
\[ E+A+A^2+\cdots +A^n=\left( \begin{array}{cc}
p_n & q_n \\
r_n & s_n
\end{array} \right) \]
とおく．
(1) $A^2=cA$となる定数$c$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2) 行列$A^n$を$a,\ b$および$n$を用いて表せ．
(3) $a,\ b$は正の数で$a+b<1$を満たす．$p_n$を$a,\ b$および$n$を用いて表せ．
(4) $\displaystyle a=\frac{1}{2},\ b=\frac{1}{3}$のとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n$を求めよ．
(1) $A^2=cA$となる定数$c$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2) 行列$A^n$を$a,\ b$および$n$を用いて表せ．
(3) $a,\ b$は正の数で$a+b<1$を満たす．$p_n$を$a,\ b$および$n$を用いて表せ．
(4) $\displaystyle a=\frac{1}{2},\ b=\frac{1}{3}$のとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n$を求めよ．
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