岐阜大学
2013年 理系 第6問
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中心を点$\mathrm{O}$とする半径$1$の円に内接する正六角形$H_1$があり,その頂点を反時計回りに$\mathrm{A}_1$,$\mathrm{B}_1$,$\mathrm{C}_1$,$\mathrm{D}_1$,$\mathrm{E}_1$,$\mathrm{F}_1$とする.辺$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1$上に点$\mathrm{A}_2$を$\angle \mathrm{A}_1 \mathrm{OA}_2=15^\circ$を満たすようにとり,辺$\mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1$上に点$\mathrm{B}_2$を$\angle \mathrm{B}_1 \mathrm{OB}_2=15^\circ$を満たすようにとる.同様に,図のように辺$\mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$,$\mathrm{D}_1 \mathrm{E}_1$,$\mathrm{E}_1 \mathrm{F}_1$,$\mathrm{F}_1 \mathrm{A}_1$上にそれぞれ点$\mathrm{C}_2$,$\mathrm{D}_2$,$\mathrm{E}_2$,$\mathrm{F}_2$をとり,点$\mathrm{A}_2$から点$\mathrm{F}_2$を頂点とする正六角形を$H_2$とおく. \\
上の操作を再び正六角形$H_2$に対して行い,辺$\mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2$,$\mathrm{B}_2 \mathrm{C}_2$,$\mathrm{C}_2 \mathrm{D}_2$,$\mathrm{D}_2 \mathrm{E}_2$,$\mathrm{E}_2 \mathrm{F}_2$,$\mathrm{F}_2 \mathrm{A}_2$上にそれぞれ点$\mathrm{A}_3$,$\mathrm{B}_3$,$\mathrm{C}_3$,$\mathrm{D}_3$,$\mathrm{E}_3$,$\mathrm{F}_3$をとり,これらを頂点とする正六角形を$H_3$とおく.同様に$3$以上の整数$n$に対して,上の操作を正六角形$H_n$に行うことにより得られる正六角形を$H_{n+1}$とおく.以下の問に答えよ.
\imgc{385_2484_2013_1}
(1) 辺$\mathrm{OA}_2$の長さを求めよ.
(2) 正六角形$H_2$の面積$S_2$を求めよ.
(3) 正六角形$H_n$の面積$S_n$を$n$を用いて表せ.
(1) 辺$\mathrm{OA}_2$の長さを求めよ.
(2) 正六角形$H_2$の面積$S_2$を求めよ.
(3) 正六角形$H_n$の面積$S_n$を$n$を用いて表せ.
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