学習院大学
2011年 理学部 第4問
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コインを投げ,点$\mathrm{P}$を次の規則によって正三角形$\mathrm{ABC}$の頂点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$上を動かす.点$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$にあるときは,表が出たら$\mathrm{B}$に動かし,裏が出たら$\mathrm{C}$に動かす.$\mathrm{B}$にあるときは,表が出たら$\mathrm{C}$に動かし,裏が出たら$\mathrm{A}$に動かす.$\mathrm{C}$にあるときは,表が出たら$\mathrm{A}$に動かし,裏が出たら$\mathrm{B}$に動かす.
はじめに点$\mathrm{P}$は$\mathrm{A}$にあるとし,コインを$n$回投げた後に$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$にある確率を$a_n$,$\mathrm{B}$にある確率を$b_n$,$\mathrm{C}$にある確率を$c_n$とする.
(1) $a_1=0$,$\displaystyle b_1=\frac{1}{2}$,$\displaystyle c_1=\frac{1}{2}$である.$n=2,\ 3,\ 4$に対して,$a_n,\ b_n,\ c_n$を求めよ.
(2) 次の問いに答えよ.
(ⅰ) $a_{n+1}$を$a_n,\ b_n,\ c_n$を用いて表せ.
(ⅱ) $b_{n+1}$を$a_n,\ b_n,\ c_n$を用いて表せ.
(ⅲ) $c_{n+1}$を$a_n,\ b_n,\ c_n$を用いて表せ.
(3) $b_n=c_n$であることを示せ.
(4) $a_n$を求めよ.
はじめに点$\mathrm{P}$は$\mathrm{A}$にあるとし,コインを$n$回投げた後に$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$にある確率を$a_n$,$\mathrm{B}$にある確率を$b_n$,$\mathrm{C}$にある確率を$c_n$とする.
(1) $a_1=0$,$\displaystyle b_1=\frac{1}{2}$,$\displaystyle c_1=\frac{1}{2}$である.$n=2,\ 3,\ 4$に対して,$a_n,\ b_n,\ c_n$を求めよ.
(2) 次の問いに答えよ.
(ⅰ) $a_{n+1}$を$a_n,\ b_n,\ c_n$を用いて表せ.
(ⅱ) $b_{n+1}$を$a_n,\ b_n,\ c_n$を用いて表せ.
(ⅲ) $c_{n+1}$を$a_n,\ b_n,\ c_n$を用いて表せ.
(3) $b_n=c_n$であることを示せ.
(4) $a_n$を求めよ.
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