三角形$\mathrm{OAB}$は$\mathrm{OA}=6$，$\mathrm{OB}=2 \sqrt{5}$，$\mathrm{AB}=2 \sqrt{2}$である．点$\mathrm{P}$は辺$\mathrm{AB}$を$k:(1-k)$に，点$\mathrm{Q}$は辺$\mathrm{OB}$を$(1-k^2):k^2$に内分する点である．ただし$0<k<1$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．このとき，次の問に答えなさい．
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(\fbox{ア}-\fbox{イ}) \overrightarrow{a}+\fbox{ウ} \overrightarrow{b}$である．
(2) ベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$の内積は$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\fbox{エオ}$である．
(3) 点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{OA}$に下ろした垂線を$\mathrm{BR}$とおくと$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}}=\frac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}} \overrightarrow{a}$である．
(4) $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{RQ}}=-\frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}} \overrightarrow{a}+(\fbox{コ}-{\fbox{サ}}^{\mkakko{シ}}) \overrightarrow{b}$である．
(5) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{RP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{RQ}}$の内積は \[ \overrightarrow{\mathrm{RP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{RQ}}=\fbox{ス}k^3-\fbox{セ}k^2+\fbox{ソ}k \] である．この値は$\displaystyle k=\frac{\fbox{タ}}{\fbox{チ}}$で最大値$\displaystyle \frac{\fbox{ツテ}}{\fbox{トナ}}$をとる．