東北医科薬科大学
2011年 薬学部 第2問
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![中心がOで半径1の円上の点A，B，Cに対しベクトルOA+ベクトルOB+4kベクトルOC=ベクトル0{（零ベクトル）}を満たす実数kが存在するという．このとき，次の問に答えなさい．(1)特にk=0のときAB=[ア]である．以下0＜kとする．(2)∠AOB=θとおく．0＜θ＜πとするとき，k=\frac{[イ]}{[ウ]}cos\frac{θ}{[エ]}が成り立つ．(3)F=AB^2+BC^2+CA^2をkの式で表すとF=[オカキ]k^2+[ク]k+[ケ]である．(4)Fはk=\frac{[コ]}{[サ]}のとき最大値[シ]をとる．](./thumb/64/2226/2011_2.png)
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中心が$\mathrm{O}$で半径$1$の円上の点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に対し
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+4k \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \quad{（零ベクトル）} \]
を満たす実数$k$が存在するという．このとき，次の問に答えなさい．
(1) 特に$k=0$のとき$\mathrm{AB}=\fbox{ア}$である．
以下$0<k$とする．
(2) $\angle \mathrm{AOB}=\theta$とおく．$0<\theta<\pi$とするとき，$\displaystyle k=\frac{\fbox{イ}}{\fbox{ウ}} \cos \frac{\theta}{\fbox{エ}}$が成り立つ．
(3) $F=\mathrm{AB}^2+\mathrm{BC}^2+\mathrm{CA}^2$を$k$の式で表すと \[ F=\fbox{オカキ} k^2+\fbox{ク} k+\fbox{ケ} \] である．
(4) $F$は$\displaystyle k=\frac{\fbox{コ}}{\fbox{サ}}$のとき最大値$\fbox{シ}$をとる．
(1) 特に$k=0$のとき$\mathrm{AB}=\fbox{ア}$である．
以下$0<k$とする．
(2) $\angle \mathrm{AOB}=\theta$とおく．$0<\theta<\pi$とするとき，$\displaystyle k=\frac{\fbox{イ}}{\fbox{ウ}} \cos \frac{\theta}{\fbox{エ}}$が成り立つ．
(3) $F=\mathrm{AB}^2+\mathrm{BC}^2+\mathrm{CA}^2$を$k$の式で表すと \[ F=\fbox{オカキ} k^2+\fbox{ク} k+\fbox{ケ} \] である．
(4) $F$は$\displaystyle k=\frac{\fbox{コ}}{\fbox{サ}}$のとき最大値$\fbox{シ}$をとる．
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