放物線$y=-x^2+8x$と直線$y=2x+t \ \ (t \geqq 0)$と直線$x=0$，$x=6$とで囲まれた図形の面積を$S(t)$とする．このとき，次の問に答えなさい．
(1) $S(12)=\fbox{アイ}$である．
(2) $S(t)$が$3$つの部分の面積の和になるのは$\fbox{ウ}<t<\fbox{エ}$のときである．このとき$S(t)$は \[ \fbox{オ}(t-\fbox{カ})+\frac{\fbox{キ}}{\fbox{ク}}(\fbox{ケ}-t) \sqrt{\fbox{ケ}-t} \] である．
(3) 以下$\fbox{ウ}<t<\fbox{エ}$で考える．$A=\sqrt{\fbox{ケ}-t}$とおく．$S(t)$を$A$で表すと \[ S(t)=\frac{\fbox{コ}}{\fbox{サ}}A^3-\fbox{シ}A^2+\fbox{スセ} \] となる．また$\displaystyle A=\frac{\fbox{ソ}}{\fbox{タ}}$のとき$S(t)$は最小値$\displaystyle \frac{\fbox{チツ}}{\fbox{テ}}$をとる．