金沢大学
2010年 理系 第3問
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行列$A=\left( \begin{array}{cc}
0 & -r \\
-r & 0
\end{array} \right) \ (r>0)$と座標平面上の点P$_0(-1,\ 2)$,P$_1(x_1,\ y_1)$,P$_2(x_2,\ y_2)$,$\cdots$,P$_n(x_n,\ y_n)$,$\cdots$は,式
\[ \left( \begin{array}{c}
x_n \\
y_n
\end{array} \right) = A^n \left( \begin{array}{c}
-1 \\
2
\end{array} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすものとする.次の問いに答えよ.
(1) $A^{2k},\ A^{2k+1} \ (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を求めよ.
(2) $x_n,\ y_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を求めよ.
(3) 線分P$_{n-1}$P$_n$の長さを$d_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする.数列$\{d_n\}$の初項$d_1$と一般項$d_n$を求めよ.また,無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} d_n$が収束し,その和が3となるような$r$の値を求めよ.
(1) $A^{2k},\ A^{2k+1} \ (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を求めよ.
(2) $x_n,\ y_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を求めよ.
(3) 線分P$_{n-1}$P$_n$の長さを$d_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする.数列$\{d_n\}$の初項$d_1$と一般項$d_n$を求めよ.また,無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} d_n$が収束し,その和が3となるような$r$の値を求めよ.
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