愛知県立大学
2013年 理系 第2問
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座標平面上で,原点$\mathrm{O}$を始点とし第$1$象限の点$\mathrm{A}$を通る半直線$\mathrm{OA}$と$x$軸の正の向きとのなす角を$\displaystyle \theta \ \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とする.点$\mathrm{B}$は$x$軸上にあり,$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=b$,$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=a$とする.原点$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{P}$とする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=t \overrightarrow{\mathrm{AB}}$とおく.$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=t \overrightarrow{\mathrm{OB}}+(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OA}}$であることを示し,$t$を$a,\ b,\ \theta$で表せ.
(2) $\theta$を固定し$b=1$とする.点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{AB}$上に存在するような$a$の値の範囲を求めよ.
(3) (2)において,$\triangle \mathrm{OAB}$の面積の最大値を求めよ.
(4) (2)において,$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とする.面積が最大となる$\triangle \mathrm{OAB}$は直角三角形であることを示せ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=t \overrightarrow{\mathrm{AB}}$とおく.$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=t \overrightarrow{\mathrm{OB}}+(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OA}}$であることを示し,$t$を$a,\ b,\ \theta$で表せ.
(2) $\theta$を固定し$b=1$とする.点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{AB}$上に存在するような$a$の値の範囲を求めよ.
(3) (2)において,$\triangle \mathrm{OAB}$の面積の最大値を求めよ.
(4) (2)において,$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とする.面積が最大となる$\triangle \mathrm{OAB}$は直角三角形であることを示せ.
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