東京慈恵会医科大学
2013年 理系 第3問
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$\theta$は$0 \leqq \theta \leqq \pi$をみたす実数とする.$xyz$空間内の平面$z=0$上に$2$点
\[ \mathrm{P}_\theta (\cos \theta,\ \sin \theta,\ 0),\quad \mathrm{Q}_\theta (2 \cos \theta,\ 2 \sin \theta,\ 0) \]
をとり,$\theta$を$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で動かすとき,線分$\mathrm{P}_\theta \mathrm{Q}_\theta$が通過する部分を$D$とする.空間内の$z \geqq 0$の部分において,底面が$D$,$\mathrm{P}_\theta \mathrm{Q}_\theta$上の各点での高さが$\displaystyle \frac{2}{\pi}\theta$の立体$K$を考える.半球$B:x^2+y^2+z^2 \leqq 2^2$,$z \geqq 0$と$K$の共通部分を$L$とするとき,次の問いに答えよ.
(1) $B$を平面$z=t \ \ (0 \leqq t<2)$で切った切り口の円の半径を$t$を用いて表せ.
(2) $L$の体積を求めよ.
(1) $B$を平面$z=t \ \ (0 \leqq t<2)$で切った切り口の円の半径を$t$を用いて表せ.
(2) $L$の体積を求めよ.
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