点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2$の円と，点$\mathrm{P}$を中心とする半径$\sqrt{6}$の円がある．$2$つの円が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わっており，$\mathrm{OP}=\sqrt{3}+1$であるとする．また，四角形$\mathrm{AOBP}$の面積を$S$とする．
(1) $\displaystyle \cos \angle \mathrm{OAP}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\fbox{サ}\fbox{シ}}$である．
(2) $\displaystyle \sin \angle \mathrm{AOP}=\frac{\sqrt{\fbox{ス}\fbox{セ}}}{2}$であり，$\mathrm{AB}=\fbox{ソ}\fbox{タ} \sqrt{3}$である．
(3) 四角形$\mathrm{AOBP}$の面積は$S=\fbox{チ}\fbox{ツ}+\sqrt{3}$である．
(4) $2$つの円が重なり合った部分の面積は$\displaystyle \frac{\fbox{テ}\fbox{ト}}{6} \pi-S$である．ただし，$\pi$は円周率を表す．