千葉大学
2015年 理学部(数学・情報数理) 第6問
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平面上に$2$つの円
\[ C_1:x^2+y^2=1,\quad C_2:\left( x+\frac{3}{2} \right)^2+y^2=\frac{1}{4} \]
があり,点$(-1,\ 0)$で接している.
点$\mathrm{P}_1$は$C_1$上を反時計周りに一定の速さで動き,点$\mathrm{P}_2$は$C_2$上を反時計周りに一定の速さで動く.二点$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$はそれぞれ点$(1,\ 0)$および点$(-1,\ 0)$を時刻$0$に同時に出発する.$\mathrm{P}_1$は$C_1$を一周して時刻$2 \pi$に点$(1,\ 0)$に戻り,$\mathrm{P}_2$は$C_2$を二周して時刻$2 \pi$に点$(-1,\ 0)$に戻るものとする.$\mathrm{P}_1$と$\mathrm{P}_2$の中点を$\mathrm{M}$とおく.
$\mathrm{P}_1$が$C_1$を一周するときの点$\mathrm{M}$の軌跡の概形を図示して,その軌跡によって囲まれる図形の面積を求めよ.
点$\mathrm{P}_1$は$C_1$上を反時計周りに一定の速さで動き,点$\mathrm{P}_2$は$C_2$上を反時計周りに一定の速さで動く.二点$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$はそれぞれ点$(1,\ 0)$および点$(-1,\ 0)$を時刻$0$に同時に出発する.$\mathrm{P}_1$は$C_1$を一周して時刻$2 \pi$に点$(1,\ 0)$に戻り,$\mathrm{P}_2$は$C_2$を二周して時刻$2 \pi$に点$(-1,\ 0)$に戻るものとする.$\mathrm{P}_1$と$\mathrm{P}_2$の中点を$\mathrm{M}$とおく.
$\mathrm{P}_1$が$C_1$を一周するときの点$\mathrm{M}$の軌跡の概形を図示して,その軌跡によって囲まれる図形の面積を求めよ.
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