京都府立大学
2010年 生命環境(環境・情報) 第2問
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![定数kを実数とする.座標平面上に4つの定点A(ベクトルa),B(ベクトルb),C(ベクトルc),D(ベクトルd)がある.|ベクトルa|=2,|ベクトルb|=1,|ベクトルa-ベクトルb|=√3とし,ベクトルd=4ベクトルbとする.このとき,Cを中心とする円K上の任意の点をP(ベクトルp)とし,Kはベクトル方程式(ベクトルp-kベクトルa-ベクトルb)・(ベクトルp+3ベクトルb)=0で表されるとする.また,Dを通り,ベクトルaに平行な直線をℓとする.以下の問いに答えよ.(1)ベクトルcをベクトルa,ベクトルb,kを用いて表せ.(2)Kの半径が√3となるkの値を求めよ.(3)Cからℓに下ろした垂線の足をHとする.Hの位置ベクトルベクトルhをベクトルa,ベクトルb,kを用いて表せ.(4)ℓが,Kと共有点をもつとするとき,kのとり得る値の範囲を求めよ.](./thumb/476/2692/2010_2.png)
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定数$k$を実数とする.座標平面上に4つの定点A$(\overrightarrow{a})$,B$(\overrightarrow{b})$,C$(\overrightarrow{c})$,D$(\overrightarrow{d})$がある.$|\overrightarrow{a}|=2,\ |\overrightarrow{b}|=1,\ |\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{3}$とし,$\overrightarrow{d}=4\overrightarrow{b}$とする.このとき,Cを中心とする円$K$上の任意の点をP$(\overrightarrow{p})$とし,$K$はベクトル方程式
\[ (\overrightarrow{p}-k\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{p}+3\overrightarrow{b})=0 \]
で表されるとする.また,Dを通り,$\overrightarrow{a}$に平行な直線を$\ell$とする.以下の問いに答えよ.
(1) $\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ k$を用いて表せ.
(2) $K$の半径が$\sqrt{3}$となる$k$の値を求めよ.
(3) Cから$\ell$に下ろした垂線の足をHとする.Hの位置ベクトル$\overrightarrow{h}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ k$を用いて表せ.
(4) $\ell$が,$K$と共有点をもつとするとき,$k$のとり得る値の範囲を求めよ.
(1) $\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ k$を用いて表せ.
(2) $K$の半径が$\sqrt{3}$となる$k$の値を求めよ.
(3) Cから$\ell$に下ろした垂線の足をHとする.Hの位置ベクトル$\overrightarrow{h}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ k$を用いて表せ.
(4) $\ell$が,$K$と共有点をもつとするとき,$k$のとり得る値の範囲を求めよ.
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