山梨大学
2014年 工学部・生命環境(生命工) 第2問
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実数を成分とする$2$次正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$が,実数$k$に対し,$A^2-kA=(k-3)E$を満たすとする.ただし,$E$は$2$次の単位行列である.
(1) $b \neq 0$または$c \neq 0$のとき,$a+d$および$ad-bc$を$k$を用いた式で表せ.
(2) 実数$k$が$A \left( \begin{array}{c} 1 \\ k \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 1 \\ k \end{array} \right)$を満たすとき,$k$の値を求めよ.
(3) $k$を定数として,$bc$が最大となるような$a,\ d$とそのときの$bc$を$k$を用いた式で表せ.また,そのような行列$A$の例を$k$を用いて$1$つあげよ.
(4) $k$を定数として,行列$A$は$bc$が最大となる行列とする.行列$A$で表される$1$次変換が,直線$y=kx$上の各点$\mathrm{P}$を$\mathrm{P}$自身に移すとすると,$A=E$となることを示せ.
(1) $b \neq 0$または$c \neq 0$のとき,$a+d$および$ad-bc$を$k$を用いた式で表せ.
(2) 実数$k$が$A \left( \begin{array}{c} 1 \\ k \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 1 \\ k \end{array} \right)$を満たすとき,$k$の値を求めよ.
(3) $k$を定数として,$bc$が最大となるような$a,\ d$とそのときの$bc$を$k$を用いた式で表せ.また,そのような行列$A$の例を$k$を用いて$1$つあげよ.
(4) $k$を定数として,行列$A$は$bc$が最大となる行列とする.行列$A$で表される$1$次変換が,直線$y=kx$上の各点$\mathrm{P}$を$\mathrm{P}$自身に移すとすると,$A=E$となることを示せ.
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