安田女子大学
2012年 文学部(A日程) 第3問
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半径$1$の円$C$上にある点$\mathrm{P}$を通る直線$\ell$が,円$C$と点$\mathrm{P}$以外で交わる点を$\mathrm{Q}$とする.また,点$\mathrm{P}$で円$C$と接する直線を$m$とし,点$\mathrm{Q}$を通り直線$m$と垂直に交わる直線を$n$とする.さらに,直線$m$と直線$n$との交点を$\mathrm{R}$,円$C$と直線$n$とが点$\mathrm{Q}$以外で交わる点を$\mathrm{S}$とする.$\mathrm{PR}:\mathrm{RQ}=1:2$,$\displaystyle \mathrm{PQ}=\frac{4 \sqrt{5}}{5}$のとき,次の問いに答えよ.
(1) 線分$\mathrm{RQ}$の長さを求めよ.
(2) $\triangle \mathrm{PSQ}$の面積を求めよ.
(3) 直線$\ell$上に点$\mathrm{T}$をとる.そして,この点$\mathrm{T}$は,円$C$の外部に位置しているものとし,線分$\mathrm{TQ}$の長さは$\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{4}$とする.また,点$\mathrm{T}$から円$C$に接線を引き,その接点を$\mathrm{U}$とする.このとき,線分$\mathrm{TU}$の長さを求めよ.
(1) 線分$\mathrm{RQ}$の長さを求めよ.
(2) $\triangle \mathrm{PSQ}$の面積を求めよ.
(3) 直線$\ell$上に点$\mathrm{T}$をとる.そして,この点$\mathrm{T}$は,円$C$の外部に位置しているものとし,線分$\mathrm{TQ}$の長さは$\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{4}$とする.また,点$\mathrm{T}$から円$C$に接線を引き,その接点を$\mathrm{U}$とする.このとき,線分$\mathrm{TU}$の長さを求めよ.
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