名古屋大学
2014年 理系 第3問
3
![xy平面のy≧0の部分にあり,x軸に接する円の列C_1,C_2,C_3,・・・を次のように定める.\begin{itemize}C_1とC_2は半径1の円で,互いに外接する.正の整数nに対し,C_{n+2}はC_nとC_{n+1}に外接し,C_nとC_{n+1}の弧およびx軸で囲まれる部分にある.\end{itemize}円C_nの半径をr_nとする.(1)等式\frac{1}{\sqrt{r_{n+2}}}=\frac{1}{\sqrt{r_n}}+\frac{1}{\sqrt{r_{n+1}}}を示せ.(2)すべての正の整数nに対して\frac{1}{\sqrt{r_n}}=sα^n+tβ^nが成り立つように,nによらない定数α,β,s,tの値を一組与えよ.(3)n→∞のとき数列{\frac{r_n}{k^n}}が正の値に収束するように実数kの値を定め,そのときの極限値を求めよ.](./thumb/411/973/2014_3.png)
3
$xy$平面の$y \geqq 0$の部分にあり,$x$軸に接する円の列$C_1,\ C_2,\ C_3,\ \cdots$を次のように定める.
\begin{itemize}
$C_1$と$C_2$は半径$1$の円で,互いに外接する.
正の整数$n$に対し,$C_{n+2}$は$C_n$と$C_{n+1}$に外接し,$C_n$と$C_{n+1}$の弧および$x$軸で囲まれる部分にある. \end{itemize} 円$C_n$の半径を$r_n$とする.
(1) 等式$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{r_{n+2}}}=\frac{1}{\sqrt{r_n}}+\frac{1}{\sqrt{r_{n+1}}}$を示せ.
(2) すべての正の整数$n$に対して$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{r_n}}=s \alpha^n+t \beta^n$が成り立つように,$n$によらない定数$\alpha,\ \beta,\ s,\ t$の値を一組与えよ.
(3) $n \to \infty$のとき数列$\displaystyle \left\{ \frac{r_n}{k^n} \right\}$が正の値に収束するように実数$k$の値を定め,そのときの極限値を求めよ.
$C_1$と$C_2$は半径$1$の円で,互いに外接する.
正の整数$n$に対し,$C_{n+2}$は$C_n$と$C_{n+1}$に外接し,$C_n$と$C_{n+1}$の弧および$x$軸で囲まれる部分にある. \end{itemize} 円$C_n$の半径を$r_n$とする.
(1) 等式$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{r_{n+2}}}=\frac{1}{\sqrt{r_n}}+\frac{1}{\sqrt{r_{n+1}}}$を示せ.
(2) すべての正の整数$n$に対して$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{r_n}}=s \alpha^n+t \beta^n$が成り立つように,$n$によらない定数$\alpha,\ \beta,\ s,\ t$の値を一組与えよ.
(3) $n \to \infty$のとき数列$\displaystyle \left\{ \frac{r_n}{k^n} \right\}$が正の値に収束するように実数$k$の値を定め,そのときの極限値を求めよ.
類題(関連度順)
![](./thumb/385/2485/2011_4s.png)
![](./thumb/465/1258/2013_1s.png)
![](./thumb/612/1191/2010_4s.png)
![](./thumb/455/2242/2010_2s.png)
![](./thumb/72/2157/2012_3s.png)
コメント(0件)
現在この問題に関するコメントはありません。
書き込むにはログインが必要です。