山形大学
2012年 理学部（数理） 第3問
3
3
$n$を自然数とする．このとき，次の問に答えよ．
(1) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^n k^2$を求めよ．
(2) $0<r<1$とし，$S_n=1+2r+3r^2+\cdots +nr^{n-1}$とおく．
(ⅰ) $S_n-rS_n$を求めよ．
(ⅱ) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}S_n$を求めよ．
(3) $a>0,\ b>0$に対して，不等式 \[ a+b-\sqrt{ab}<\sqrt{a^2+b^2}<a+b \] が成り立つことを証明せよ．
(4) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \sqrt{\displaystyle\frac{1}{3^{2(k-1)}}+\frac{k^4}{n^6}}$を求めよ．
(1) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^n k^2$を求めよ．
(2) $0<r<1$とし，$S_n=1+2r+3r^2+\cdots +nr^{n-1}$とおく．
(ⅰ) $S_n-rS_n$を求めよ．
(ⅱ) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}S_n$を求めよ．
(3) $a>0,\ b>0$に対して，不等式 \[ a+b-\sqrt{ab}<\sqrt{a^2+b^2}<a+b \] が成り立つことを証明せよ．
(4) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \sqrt{\displaystyle\frac{1}{3^{2(k-1)}}+\frac{k^4}{n^6}}$を求めよ．
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