山形大学
2012年 医学部 第4問
4
4
$2$次正方行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{1+3 \sqrt{3}}{2} & -\sqrt{3} \\
\displaystyle\frac{5 \sqrt{3}}{2} & \displaystyle\frac{1-3 \sqrt{3}}{2}
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
2 & 1
\end{array} \right) \]
について，次の問に答えよ．
(1) $A,\ B$は逆行列をもつことを示し，$A^{-1},\ B^{-1}$を求めよ．
(2) $B^{-1}A^{-1}B,\ (B^{-1}A^{-1}B)^3$を求めよ．
(3) $A^7BX=B$をみたす$2$次正方行列$X$を求めよ．
(4) $(3)$の行列$X$について \[ E+X^5+X^{10}+X^{15}+X^{20}+X^{25}=O \] が成り立つことを示せ．ただし$E$は$2$次の単位行列，$O$は零行列とする．
(1) $A,\ B$は逆行列をもつことを示し，$A^{-1},\ B^{-1}$を求めよ．
(2) $B^{-1}A^{-1}B,\ (B^{-1}A^{-1}B)^3$を求めよ．
(3) $A^7BX=B$をみたす$2$次正方行列$X$を求めよ．
(4) $(3)$の行列$X$について \[ E+X^5+X^{10}+X^{15}+X^{20}+X^{25}=O \] が成り立つことを示せ．ただし$E$は$2$次の単位行列，$O$は零行列とする．
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