自然数の数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$を \[ a_1=2,\quad b_1=5,\quad a_{n+1}={a_n}^2+{b_n}^2,\quad b_{n+1}=2a_nb_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] で定める．このとき，すべての自然数$n$に対して，$a_n$と$b_n$の最大公約数は$1$であることを示せ．