$1$個のさいころを投げて，出た目が$1$か$2$であれば行列$A=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right)$を，出た目が$3$か$4$であれば行列$B=\left( \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)$を，出た目が$5$か$6$であれば行列$C=\left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$を選ぶ．そして，選んだ行列の表す$1$次変換によって$xy$平面上の点$\mathrm{R}$を移すという操作を行う．点$\mathrm{R}$は最初は点$(0,\ 1)$にあるものとし，さいころを投げて点$\mathrm{R}$を移す操作を$n$回続けて行ったときに点$\mathrm{R}$が点$(0,\ 1)$にある確率を$p_n$，点$(0,\ -1)$にある確率を$q_n$とする．
(1) $p_1,\ p_2$と$q_1$，$q_2$を求めよ．
(2) $p_n+q_n$と$p_{n-1}+q_{n-1}$の関係式を求めよ．また，$p_n-q_n$と$p_{n-1}-q_{n-1}$の関係式を求めよ．
(3) $p_n$を$n$を用いて表せ．