東京大学
2013年 理系 第5問
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次の命題$\mathrm{P}$を証明したい.
命題$\mathrm{P}$ \quad 次の$2$条件(a),(b)をともに満たす自然数($1$以上の整数)$A$が存在する.
(a) \ \ $A$は連続する$3$つの自然数の積である.
(b) \ \ $A$を$10$進法で表したとき,$1$が連続して$99$回以上現れるところがある.
以下の問いに答えよ.
(1) $y$を自然数とする.このとき不等式 \[ x^3+3yx^2<(x+y-1)(x+y)(x+y+1)<x^3+(3y+1)x^2 \] が成り立つような正の実数$x$の範囲を求めよ.
(2) 命題$\mathrm{P}$を証明せよ.
命題$\mathrm{P}$ \quad 次の$2$条件(a),(b)をともに満たす自然数($1$以上の整数)$A$が存在する.
(a) \ \ $A$は連続する$3$つの自然数の積である.
(b) \ \ $A$を$10$進法で表したとき,$1$が連続して$99$回以上現れるところがある.
以下の問いに答えよ.
(1) $y$を自然数とする.このとき不等式 \[ x^3+3yx^2<(x+y-1)(x+y)(x+y+1)<x^3+(3y+1)x^2 \] が成り立つような正の実数$x$の範囲を求めよ.
(2) 命題$\mathrm{P}$を証明せよ.
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