東北大学
2012年 理系 第3問
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![袋A,袋Bのそれぞれに,1からNの自然数がひとつずつ書かれたN枚のカードが入っている.これらのカードをよくかきまぜて取り出していく.以下の問いに答えよ.(1)N=4とする.袋A,Bのそれぞれから同時に1枚ずつカードを取り出し,数字が同じかどうかを確認する操作を繰り返す.ただし,取り出したカードは元には戻さないものとする.4回のカードの取り出し操作が終わった後,数字が一致していた回数をXとする.X=1,X=2,X=3,X=4となる確率をそれぞれ求めよ.またXの期待値を求めよ.(2)N=3とし,nは自然数とする.袋A,Bのそれぞれから同時に1枚ずつカードを取り出し,カードの数字が一致していたら,それらのカードを取り除き,一致していなかったら,元の袋に戻すという操作を繰り返す.カードが初めて取り除かれるのがn回目で起こる確率をp_nとし,n回目の操作ですべてのカードが取り除かれる確率をq_nとする.p_nとq_nを求めよ.](./thumb/52/1021/2012_3.png)
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袋$\mathrm{A}$,袋$\mathrm{B}$のそれぞれに,$1$から$N$の自然数がひとつずつ書かれた$N$枚のカードが入っている.これらのカードをよくかきまぜて取り出していく.以下の問いに答えよ.
(1) $N=4$とする.袋$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$のそれぞれから同時に$1$枚ずつカードを取り出し,数字が同じかどうかを確認する操作を繰り返す.ただし,取り出したカードは元には戻さないものとする.$4$回のカードの取り出し操作が終わった後,数字が一致していた回数を$X$とする.$X=1,\ X=2,\ X=3,\ X=4$となる確率をそれぞれ求めよ.また$X$の期待値を求めよ.
(2) $N=3$とし,$n$は自然数とする.袋$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$のそれぞれから同時に$1$枚ずつカードを取り出し,カードの数字が一致していたら,それらのカードを取り除き,一致していなかったら,元の袋に戻すという操作を繰り返す.カードが初めて取り除かれるのが$n$回目で起こる確率を$p_n$とし,$n$回目の操作ですべてのカードが取り除かれる確率を$q_n$とする.$p_n$と$q_n$を求めよ.
(1) $N=4$とする.袋$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$のそれぞれから同時に$1$枚ずつカードを取り出し,数字が同じかどうかを確認する操作を繰り返す.ただし,取り出したカードは元には戻さないものとする.$4$回のカードの取り出し操作が終わった後,数字が一致していた回数を$X$とする.$X=1,\ X=2,\ X=3,\ X=4$となる確率をそれぞれ求めよ.また$X$の期待値を求めよ.
(2) $N=3$とし,$n$は自然数とする.袋$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$のそれぞれから同時に$1$枚ずつカードを取り出し,カードの数字が一致していたら,それらのカードを取り除き,一致していなかったら,元の袋に戻すという操作を繰り返す.カードが初めて取り除かれるのが$n$回目で起こる確率を$p_n$とし,$n$回目の操作ですべてのカードが取り除かれる確率を$q_n$とする.$p_n$と$q_n$を求めよ.
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