山形大学
2015年 工学部 第2問
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![四面体OABCは,∠AOB=π/3,∠AOC=∠BOC=2/3π,OA=OB=2,OC=3を満たす.点Cから平面OABに下ろした垂線をCHとする.ベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルb,ベクトルOC=ベクトルcとするとき,次の問いに答えよ.(1)△OABの面積を求めよ.(2)内積ベクトルa・ベクトルb,ベクトルb・ベクトルc,ベクトルa・ベクトルcの値を求めよ.(3)ベクトルCH=-1/2ベクトルa-1/2ベクトルb-ベクトルcを示せ.(4)四面体OABCの体積を求めよ.](./thumb/72/2158/2015_2.png)
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四面体$\mathrm{OABC}$は,$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{3}$,$\displaystyle \angle \mathrm{AOC}=\angle \mathrm{BOC}=\frac{2}{3} \pi$,$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=2$,$\mathrm{OC}=3$を満たす.点$\mathrm{C}$から平面$\mathrm{OAB}$に下ろした垂線を$\mathrm{CH}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき,次の問いに答えよ.
(1) $\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ.
(2) 内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ.
(3) $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CH}}=-\frac{1}{2} \overrightarrow{a}-\frac{1}{2} \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$を示せ.
(4) 四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ.
(1) $\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ.
(2) 内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ.
(3) $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CH}}=-\frac{1}{2} \overrightarrow{a}-\frac{1}{2} \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$を示せ.
(4) 四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ.
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