宮城教育大学
2010年 教育学部(中等数学) 第5問
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関数$\displaystyle f(x)=\int_\alpha^x (t-\alpha)\cos (x-t) \, dt$を考える.ただし,$\alpha$は定数とする.次の問いに答えよ.
(1) $x$を定数とみて,$u=x-t$とおく.置換積分法を用いて, \[ \int_\alpha^x (t-\alpha)\cos (x-t) \, dt=\int_0^{x-\alpha}(x-\alpha-u)\cos u \, du \] となることを示せ.
(2) 導関数$f^\prime(x)$を求めよ.
(3) 関数$f(x)$を求めよ.
(4) 曲線$y=f(x) \ (\alpha \leqq x \leqq \alpha+2\pi)$と$x$軸で囲まれた部分を,$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ.
(1) $x$を定数とみて,$u=x-t$とおく.置換積分法を用いて, \[ \int_\alpha^x (t-\alpha)\cos (x-t) \, dt=\int_0^{x-\alpha}(x-\alpha-u)\cos u \, du \] となることを示せ.
(2) 導関数$f^\prime(x)$を求めよ.
(3) 関数$f(x)$を求めよ.
(4) 曲線$y=f(x) \ (\alpha \leqq x \leqq \alpha+2\pi)$と$x$軸で囲まれた部分を,$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ.
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