山形大学
2011年 理学部(数理) 第3問
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座標平面において,点$(2,\ 0)$を中心とする半径$2$の円を$C$とする.点$(1,\ 0)$を通る直線$\ell_1$と円$C$との交点を$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$とし,点$(3,\ 0)$を通る直線$\ell_2$と円$C$との交点を$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$とする.さらに,$\ell_1$と$\ell_2$は垂直に交わるとする.ただし,$\ell_2$は座標軸とは一致しない.$\ell_1$の傾きを$k$で表す.このとき,次の問に答えよ.
(1) $\ell_1$と$\ell_2$の交点$\mathrm{D}$は円$C$の内部にあることを示せ.
(2) 弦$\mathrm{AB}$の長さを$k$を用いて表せ.
(3) 弦$\mathrm{PQ}$の長さを$k$を用いて表せ.
(4) 四角形$\mathrm{APBQ}$の面積の最大値を求めよ.
(1) $\ell_1$と$\ell_2$の交点$\mathrm{D}$は円$C$の内部にあることを示せ.
(2) 弦$\mathrm{AB}$の長さを$k$を用いて表せ.
(3) 弦$\mathrm{PQ}$の長さを$k$を用いて表せ.
(4) 四角形$\mathrm{APBQ}$の面積の最大値を求めよ.
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