岩手大学
2014年 理工学部 第2問
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$a$を正の実数とする.平面上の$3$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$は$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=a$,$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=1$,$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}-3 \overrightarrow{\mathrm{OB}}|=\sqrt{a^2+9}$を満たしている.点$\mathrm{P}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=2 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$となるように定め,線分$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{OP}$の交点を$\mathrm{Q}$,線分$\mathrm{BQ}$の中点を$\mathrm{R}$とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値を求めよ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ.
(3) $\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ.
(4) $\overrightarrow{\mathrm{OR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$が垂直になるとき,$a$の値と三角形$\mathrm{OQR}$の面積を求めよ.
(1) 内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値を求めよ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ.
(3) $\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ.
(4) $\overrightarrow{\mathrm{OR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$が垂直になるとき,$a$の値と三角形$\mathrm{OQR}$の面積を求めよ.
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