空間内に，直線$\ell$で交わる$2$平面$\alpha,\ \beta$と交線$\ell$上の$1$点$\mathrm{O}$がある．さらに，平面$\alpha$上の直線$m$と平面$\beta$上の直線$n$を，どちらも点$\mathrm{O}$を通り$\ell$に垂直にとる．$m,\ n$上にそれぞれ点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$があり， \[ \mathrm{OP}=\sqrt{3},\quad \mathrm{OQ}=2,\quad \mathrm{PQ}=1 \] であるとする．線分$\mathrm{PQ}$上の動点$\mathrm{T}$について，$\mathrm{PT}=t$とおく．点$\mathrm{T}$を中心とした半径$\sqrt{2}$の球$S$を考える．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) $S$の平面$\alpha$による切り口の面積を$t$を用いて表せ．
(2) $S$の平面$\alpha$による切り口の面積と$S$の平面$\beta$による切り口の面積の和を$f(t)$とおく．$\mathrm{T}$が線分$\mathrm{PQ}$上を動くとき，$f(t)$の最大値と，そのときの$t$の値を求めよ．