東北大学
2012年 理系 第6問
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数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=\sqrt{\frac{3a_n+4}{2a_n+3}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．以下の問いに答えよ．
(1) $n \geqq 2$のとき，$a_n>1$となることを示せ．
(2) $\displaystyle \alpha^2=\frac{3 \alpha+4}{2 \alpha+3}$を満たす正の実数$\alpha$を求めよ．
(3) すべての自然数$n$に対して$a_n<\alpha$となることを示せ．
(4) $0<r<1$を満たすある実数$r$に対して，不等式 \[ \frac{\alpha-a_{n+1}}{\alpha-a_n} \leqq r \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] が成り立つことを示せ．さらに，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
(1) $n \geqq 2$のとき，$a_n>1$となることを示せ．
(2) $\displaystyle \alpha^2=\frac{3 \alpha+4}{2 \alpha+3}$を満たす正の実数$\alpha$を求めよ．
(3) すべての自然数$n$に対して$a_n<\alpha$となることを示せ．
(4) $0<r<1$を満たすある実数$r$に対して，不等式 \[ \frac{\alpha-a_{n+1}}{\alpha-a_n} \leqq r \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] が成り立つことを示せ．さらに，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
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