神戸大学
2010年 理系 第5問
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![座標平面において,点P_n(a_n,b_n)(n≧1)を\begin{eqnarray}(\begin{array}{c}a_1\\b_1\end{array})&=&(\begin{array}{c}1\\0\end{array})\nonumber\\(\begin{array}{c}a_n\\b_n\end{array})&=&1/2(\begin{array}{cc}cosθ&-sinθ\\sinθ&cosθ\end{array})(\begin{array}{c}a_{n-1}\\b_{n-1}\end{array})(n≧2)\nonumber\end{eqnarray}で定める.このとき,以下の問に答えよ.(1)a_n,b_nをnとθを用いて表せ.(2)θ=π/3のとき,自然数nに対して,線分P_nP_{n+1}の長さl_nを求めよ.(3)(2)で求めたl_nに対して,Σ_{n=1}^∞l_nを求めよ.](./thumb/558/1534/2010_5.png)
5
座標平面において,点P$_n(a_n,\ b_n) \ (n \geqq 1)$を
\begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{c}
a_1 \\
b_1
\end{array}
\right) &=& \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array}
\right) \nonumber \\
\left(
\begin{array}{c}
a_n \\
b_n
\end{array}
\right) &=& \frac{1}{2} \left(
\begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}
\right) \left(
\begin{array}{c}
a_{n-1} \\
b_{n-1}
\end{array}
\right) \quad (n \geqq 2) \nonumber
\end{eqnarray}
で定める.このとき,以下の問に答えよ.
(1) $a_n,\ b_n$を$n$と$\theta$を用いて表せ.
(2) $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$のとき,自然数$n$に対して,線分P$_n$P$_{n+1}$の長さ$l_n$を求めよ.
(3) (2)で求めた$l_n$に対して,$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty l_n$を求めよ.
(1) $a_n,\ b_n$を$n$と$\theta$を用いて表せ.
(2) $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$のとき,自然数$n$に対して,線分P$_n$P$_{n+1}$の長さ$l_n$を求めよ.
(3) (2)で求めた$l_n$に対して,$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty l_n$を求めよ.
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