愛知県立大学
2012年 理系 第2問
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![三角形ABCにおいて∠ A =θ,∠ B =2θであるとする.このとき,以下の問いに答えよ.ただし,\lceil・\rfloorはベクトルの内積を表す.(1)\frac{|ベクトルAC|}{|ベクトルBC|}を,cosθを用いて表せ.(2)次式が最大となるときのcosθを求めよ.\frac{ベクトルAB・ベクトルAC}{|ベクトルAB||ベクトルAC|}+\frac{ベクトルBA・ベクトルBC}{|ベクトルBA||ベクトルBC|}+\frac{ベクトルCB・ベクトルCA}{|ベクトルCB||ベクトルCA|}(3)∠ B の二等分線と辺ACとの交点をDとしたとき,次式を満たすθを求めよ.\frac{ベクトルAB・ベクトルAC}{|ベクトルAB||ベクトルAC|}+\frac{ベクトルBA・ベクトルBC}{|ベクトルBA||ベクトルBC|}+\frac{ベクトルCB・ベクトルCA}{|ベクトルCB||ベクトルCA|}=\frac{ベクトルAB・ベクトルAD}{|ベクトルAB||ベクトルAD|}+\frac{ベクトルBA・ベクトルBD}{|ベクトルBA||ベクトルBD|}+\frac{ベクトルDB・ベクトルDA}{|ベクトルDB||ベクトルDA|}](./thumb/413/2579/2012_2.png)
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三角形ABCにおいて$\angle \text{A}=\theta,\ \angle \text{B}=2\theta$であるとする.このとき,以下の問いに答えよ.ただし,$\lceil \ \cdot \ \rfloor$はベクトルの内積を表す.
(1) $\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|}$を,$\cos \theta$を用いて表せ.
(2) 次式が最大となるときの$\cos \theta$を求めよ. \[ \frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}}{|\overrightarrow{\mathrm{AB}}||\overrightarrow{\mathrm{AC}}|}+\frac{\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}}{|\overrightarrow{\mathrm{BA}}||\overrightarrow{\mathrm{BC}}|}+\frac{\overrightarrow{\mathrm{CB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}}}{|\overrightarrow{\mathrm{CB}}||\overrightarrow{\mathrm{CA}}|} \]
(3) $\angle \text{B}$の二等分線と辺ACとの交点をDとしたとき,次式を満たす$\theta$を求めよ. \[ \frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}}{|\overrightarrow{\mathrm{AB}}||\overrightarrow{\mathrm{AC}}|}+\frac{\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}}{|\overrightarrow{\mathrm{BA}}||\overrightarrow{\mathrm{BC}}|}+\frac{\overrightarrow{\mathrm{CB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}}}{|\overrightarrow{\mathrm{CB}}||\overrightarrow{\mathrm{CA}}|} = \frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}}{|\overrightarrow{\mathrm{AB}}||\overrightarrow{\mathrm{AD}}|}+\frac{\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BD}}}{|\overrightarrow{\mathrm{BA}}||\overrightarrow{\mathrm{BD}}|}+\frac{\overrightarrow{\mathrm{DB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DA}}}{|\overrightarrow{\mathrm{DB}}||\overrightarrow{\mathrm{DA}}|} \]
(1) $\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|}$を,$\cos \theta$を用いて表せ.
(2) 次式が最大となるときの$\cos \theta$を求めよ. \[ \frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}}{|\overrightarrow{\mathrm{AB}}||\overrightarrow{\mathrm{AC}}|}+\frac{\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}}{|\overrightarrow{\mathrm{BA}}||\overrightarrow{\mathrm{BC}}|}+\frac{\overrightarrow{\mathrm{CB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}}}{|\overrightarrow{\mathrm{CB}}||\overrightarrow{\mathrm{CA}}|} \]
(3) $\angle \text{B}$の二等分線と辺ACとの交点をDとしたとき,次式を満たす$\theta$を求めよ. \[ \frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}}{|\overrightarrow{\mathrm{AB}}||\overrightarrow{\mathrm{AC}}|}+\frac{\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}}{|\overrightarrow{\mathrm{BA}}||\overrightarrow{\mathrm{BC}}|}+\frac{\overrightarrow{\mathrm{CB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}}}{|\overrightarrow{\mathrm{CB}}||\overrightarrow{\mathrm{CA}}|} = \frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}}{|\overrightarrow{\mathrm{AB}}||\overrightarrow{\mathrm{AD}}|}+\frac{\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BD}}}{|\overrightarrow{\mathrm{BA}}||\overrightarrow{\mathrm{BD}}|}+\frac{\overrightarrow{\mathrm{DB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DA}}}{|\overrightarrow{\mathrm{DB}}||\overrightarrow{\mathrm{DA}}|} \]
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