島根大学
2014年 総合理工（数理・情報システム以外） 第2問
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$a,\ b$は$a<b$をみたす実数とする．放物線$C:y=x^2$上の$2$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$を考える．このとき，次の問いに答えよ．
(1) 直線$\mathrm{AB}$の方程式を$a$と$b$を用いて表せ．
(2) 放物線$C$と直線$\mathrm{AB}$で囲まれた図形の面積$S$を$a$と$b$を用いて表せ．
(3) $a<t<b$の範囲で点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$が動くとき，放物線$C$と直線$\mathrm{AP}$で囲まれた図形の面積を$S_1(t)$，放物線$C$と$2$直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AP}$で囲まれた図形の面積を$S_2(t)$とする．このとき，等式$S_2(t)=7S_1(t)$をみたす$t$を$a$と$b$を用いて表せ．
(1) 直線$\mathrm{AB}$の方程式を$a$と$b$を用いて表せ．
(2) 放物線$C$と直線$\mathrm{AB}$で囲まれた図形の面積$S$を$a$と$b$を用いて表せ．
(3) $a<t<b$の範囲で点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$が動くとき，放物線$C$と直線$\mathrm{AP}$で囲まれた図形の面積を$S_1(t)$，放物線$C$と$2$直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AP}$で囲まれた図形の面積を$S_2(t)$とする．このとき，等式$S_2(t)=7S_1(t)$をみたす$t$を$a$と$b$を用いて表せ．
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