宇都宮大学
2015年 教育学部 第2問
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$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とし,半径を$1$とする.辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{P}$,辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$とするとき,次の問いに答えよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき,$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2) $(1)$における$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$は,$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と平行で向きが同じとする.$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|:|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=s:1$とするとき,$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$を,それぞれ$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$と$s$を用いて表せ.
(3) $(2)$において,さらに$\displaystyle s=\frac{1}{6}$であるとき,$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき,$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2) $(1)$における$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$は,$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と平行で向きが同じとする.$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|:|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=s:1$とするとき,$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$を,それぞれ$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$と$s$を用いて表せ.
(3) $(2)$において,さらに$\displaystyle s=\frac{1}{6}$であるとき,$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ.
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